CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng nếu:
2
1
n
và
3
1,
n
n
N
, Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40
HD:
Do
2
1
n
là số chỉnh phương lẻ nên
2
1
n
chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn
Do
3
1
n
là số chính phương lẻ nên
3
1
n
chia cho 8 dư 1, suy ra
3 8
8
n
n
(1)
Do
3
1
n
và
2
1
n
đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,
do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4
Mà
2
1
3
1
5
5
n
n
n
, Do đó
3
1
n
và
2
1
n
khi chia cho 5 đều dư 1
=>
2 5
n
và
3 5
5
n
n
(2)
Từ (1) và (2) =>
5;8
40
n BCNN
n
Bài 2: Tìm số tự nhiên có 9 chữ số:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A
aa a bb b aa a
trong đó
1
0
a
và
1 2 3
1 2 3
2.
bb b
aa a
và đồng thời A viết được dưới dạng
2
2
2
2
1
2
3
4
.
.
.
A
p p p p
với
1
2
3
4
,
,
,
p p p p
là bốn số nguyên tố.
HD:
Ta có:
6
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.10
.10
A
aa a bb b aa a
aa a
bb b
aa a
6
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.10
2.10 .
aa a
aa a
aa a
6
3
1 2 3
1 2 3
10
2.10
1
.1002001
aa a
aa a
2
2
2
1 2 3
.7 .11 .13
aa a
Như vậy
1 2 3
aa a
phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13
Do
1 2 3
1
1 2 3
1000,
0
100
500
bb b
a
aa a
=>
1 2 3
1 2 3
289
10
23
17,19
361
aa a
p
p
aa a
Vậy
289578289
A
hoặc
361722361
A
Bài 3: Cho số
11...11122...2225
A
( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2), Chứng minh rằng A là số chính
phương
HD:
Ta có:
2004
2005
4012
2007
9
100...00100...0025 100...00 100...00 25
A
2
2
2
2006
2006
2006
9
100...00
2.5.100...00 5
10
5
A
, là số chính phương
Bài 4: Chứng minh rằng số
44...4488...89
C
có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương
của 1 số tự nhiên
HD:
Đặt
111...11
10
9
1
n
n
a
a
Ta có:
1
444...4488...89
444...44888...8 1
n
n
n
n
4 .10
8
1
n
a
a
2
2
4
9
1
8
1 36
12
1
6
1
a
a
a
a
a
a
2
1
666...67
n
Bài 5: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng
chia hết cho 3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1
