Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Trang 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1.
TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC
Ví dụ 1.
Cho hàm số
(
)
2
2
1
0
4
3
0
x
x
x
khi
x
y
f
x
e
khi
x
+ +
≤
=
=
−
≥
. Biết
(
)
1
2
1
b
f
x dx
ae
c
−
=
−
∫
với
*
,
,
a b c
N
∈
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T
a
b
c
= + +
.
A.
23
.
B.
27
.
C.
33
.
D.
42
.
Lời giải
Ta có,
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
0
1
2
2
2
2
1
0
1
0
5
25
1
4
3
2
5
2
6
6
x
f
x dx
f
x dx
x
x
dx
e
dx
e
e
−
−
+
=
+ +
+
−
= +
− =
−
∫
∫
∫
∫
.
2
25
6
33
T
⇒ = +
+ =
Ví dụ 2.
[Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số
(
)
f
x
xác định trên
1
\
2
ℝ
thỏa mãn
2
(
)
2
1
f
x
x
′
=
−
,
(0)
1
f
=
và
(1)
2
f
=
. Giá trị của biểu thức
(
1)
(3)
f
f
− +
bằng
A.
4
ln 5
+
.
B.
2
ln15
+
.
C.
3
ln15
+
.
D.
ln 15.
Lời giải
Cách 1: Trên khoảng
1
;
2
+∞
:
1
2
(
)
ln(2
1)
.
2
1
f
x
dx
x
C
x
=
=
− +
−
∫
Lại có
1
(1)
2
2.
f
C
= ⇒ =
• Trên khoảng
1
;
2
−∞
:
2
2
(
)
ln(1
2 )
.
2
1
f
x
dx
x
C
x
=
=
−
+
−
∫
Lại có
2
(0)
1
1.
f
C
= ⇒
=
Vậy
1
ln(2
1)
2
2
(
)
1
ln(1
2 )
1
2
x
khi x
f
x
x
khi x
− +
>
=
−
+
<
.
Suy ra
(
1)
(3)
3
ln15.
f
f
− +
= +
Cách 2:
Ta có:
0
0
0
1
1
1
3
3
3
1
1
1
2
1
(0)
(
1)
'(
)
ln 2
1|
ln
(1)
2
1
3
2
(3)
(1)
'(
)
ln 2
1|
ln 5
(2)
2
1
dx
f
f
f
x dx
x
x
dx
f
f
f
x dx
x
x
−
−
−
−
− =
=
=
−
=
−
−
=
=
=
−
=
−
∫
∫
∫
∫
Lấy (2)-(1), ta được
(3)
(1)
(0)
(
1)
ln15
(
1)
(3)
3
ln15
f
f
f
f
f
f
−
−
+
− =
⇒ − +
= +
.
2.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1.
Điều kiện hàm ẩn có dạng:
1.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
f
x
g
x
h
f
x
′
=
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
f
x
h
f
x
g
x
′
=
Phương pháp giải:
1.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
...
f
x
f
x
df
x
g
x
dx
g
x dx
g
x dx
h
f
x
h
f
x
h
f
x
′
′
=
⇔
=
⇔
=
∫
∫
∫
∫
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
...
f
x
h
f
x
dx
g
x dx
h
f
x
df
x
g
x dx
′
=
⇔
=
∫
∫
∫
∫
7ҥL
W j L
O
L
ӉX PL
ӇQ SKt KW W SV Y QGRF F RP
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần