ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV
§
1. Dãy số có giới hạn 0:
Định nghĩa:
0
0
n
n
n
n
N,
n
N
n
0,
0
u
lim
thì
u
n
<
Một số dãy có giới hạn 0:
0.
n
1
lim
;
n
1
lim
0;
n
1
lim
*
k
3
* Định lý 1: Hai dãy số (u
n
) và (v
n
)
Nếu
u
n
v
n
n và limv
n
= 0 thì limu
n
= 0.
* Định lý 2: Nếu
q
< 1 thì limq
n
= 0.
§
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa: limu
n
= L
lim(u
n
– L) = 0.
Định lý 1: Giả sử limu
n
= L. Khi đó:
a)
lim
u
n
=
L
và
;
L
u
lim
3
3
n
b)
Nếu u
n
0
n thì L
0 và
.
L
u
lim
n
Định lý 2: Nếu limu
n
= L, limv
n
= M và c là một hằng số. Khi đó:
lim(u
n
+ v
n
) = L + M;
lim(u
n
- v
n
) = L - M;
lim(u
n
.v
n
) = L.M;
lim(cu
n
) = cL;
M
L
v
u
lim
n
n
(nếu M
≠
0).
Tổng
của
cấp
số
nhân
lùi
vô
hạn:
.
q
-
1
u
q
-
1
)
q
-
1
(
u
lim
.
.
.
q
u
q
u
u
S
1
n
1
2
1
1
1
Bài tập áp dụng:
1. Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0:
k
n
n
a
u
a)
với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn
.
5
2n
n
2n
u
d)
;
7
3n
2
u
c)
;
2
-
n
3
u
b)
2
n
n
n
2. Cho a > 1. Chứng minh rằng:
0.
a
n
lim
n
3. Chứng minh rằng
0.
1
n
2n.sinn
lim
b)
0;
n
-
1
n
lim
a)
2
4. Ba dãy v
n
, u
n
, w
n
thỏa v
n
u
n
w
n
n, limv
n
= L, limw
n
= L. CMR: limu
n
= L
5. Biết rằng limu
n
= limu
n-1
= limu
n-2
= limu
n-k
với k là số hữu hạn. CMR: Dãy u
n
tăng (giảm) và bị chặn trên (và bị chặn dưới) thì có giới hạn.
6. Chứng minh các dãy sau đây có giới hạn 0:
;
3
1
-
2
1)
(-
u
)
c
;
1
n
2
cosn
sinn
1)
(-
u
b)
;
1
3
5
u
a)
1
n
1
n
n
n
3
2
n
n
n
n
n
.
n
n!
u
f)
;
1
n
-
5
n
u
)
e
;
n
n
n
5
n
cos
n
u
d)
n
n
2
2
n
n
7. Tìm các giới hạn limu
n
với:
Giaovienvietnam.com
1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần