Giaovienvietnam.com
CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp quy nạp toán học
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương
n
là đúng với mọi
n
mà không
thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
1
n
.
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
1
n
k
(gọi là giả thiết quy
nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với
1
n
k
.
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1.
Với mối số nguyên dương
n
, đặt
2
2
2
1
2
...
S
n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
(
1)(
2)
6
n n
n
S
.
B.
(
1)(2
1)
3
n n
n
S
.
C.
(
1)(2
1)
6
n n
n
S
.
D.
(
1)(2
1)
2
n n
n
S
.
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi
*
n
, ta có đẳng
thức
2
2
2
2
(
1)(2
1)
1
2
3
...
.
6
n n
n
n
- Bước 1: Với
1
n
thì vế trái bằng
2
1
1
, vế phải bằng
1(1
1)(2.1
1)
1
6
.
Vậy đẳng thức đúng với
1
n
.
-Bước
2:
Giả
sử
đẳng
thức
đúng
với
1
n
k
,
tức
là
chứng
minh
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
1
2(
1)
1
(
1)(
2)(2
3)
1
2
3
...
(
1)
.
6
6
k
k
k
k
k
k
k
k
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với
1
n
k
, tức là chứng minh
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
1
2(
1)
1
(
1)(
2)(2
3)
1
2
3
...
(
1)
.
6
6
k
k
k
k
k
k
k
k
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
2
2
2
2
2
2
(
1)(
1)(2
1)
1
2
3
...
(
1)
(
1)
.
6
k
k
k
k
k
k
Mà
2
2
(
1)(
1)(2
1)
(
1)(2
1)
6(
1)
(
1)(
2)(2
3)
(
1)
.
6
6
6
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
k
Suy ra
2
2
2
2
2
(
1)(
2)(2
3)
1
2
3
...
(
1)
.
6
k
k
k
k
k
Do đó đẳng thức đúng với
1
n
k
. Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với
1
n
thì
2
1
1
S
(loại được các phương án B và D);
+ Với
2
n
thì
2
2
1
2
5
S
(loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP
Trang 1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần