Các chuyên đề hình học phẳng

Phương tích – Trục đẳng phương

PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

NGUYỄN TĂNG VŨ

I.

Phương tích của một điểm đối với đường tròn (Power of a point).

1.

Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay

đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó

2

2

2

2

.

MA MB

MO

R

d

R









Chứng minh:

Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có

CB

AM



hay B là hình chiếu của C trên AM.

Khi

đó

ta

có



 





 



2

2

2

2

2

2

.

.

.

MA MB

MA MB

MC MA

MO OC

MO OA

MO OA

MO OA

MO

OA

OM

OA

d

R









































































































































































































































































2.

Định nghĩa. Giá trị không đổi

2

2

.

MA MB

d

R





trong định lý 1.1 được gọi là phương

tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu

P

M/(O)

. Ta có:





2

2

/

.

M O

MA MB

d

R







P

3. Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và

.

.

PA PB

PC PD



thì 4 điểm

A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh.

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’. Khi đó ta có theo

định lý 1.1 ta có

.

.

PA PB

PC PD





, suy ra

.

.

PC PD

PC PD

D

D











. Suy ra 4 điểm A, B, C

và D cùng thuộc một đường tròn.

4.

Chú ý:

1)

Khi M nằm trên (O) thì





/

0

P

M O



2)

Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì





2

/

P

M O

MT



GV: Nguyễn Tăng Vũ

www.truonglang.wordpress.com

1

B

C

O

A

M

Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần