Giaovienvietnam.com
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1
lim
0
n
n
;
1
lim
0 (
)
k
n
k
n
lim
0 (
1)
n
n
q
q
;
lim
n
C
C
2. Định lí :
a) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
= b thì
lim (u
n
+ v
n
) = a + b
lim (u
n
– v
n
) = a – b
lim (u
n
.v
n
) = a.b
lim
n
n
u
a
v
b
(nếu b
0)
b) Nếu u
n
0,
n và lim u
n
= a thì a
0 và lim
n
u
a
c) Nếu
n
n
u
v
,
n và lim v
n
= 0
thì lim u
n
= 0
d) Nếu lim u
n
= a thì
lim
n
u
a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u
1
+ u
1
q + u
1
q
2
+ … =
1
1
u
q
1
q
1. Giới hạn đặc biệt:
lim
n
n
lim
(
)
k
n
n
k
lim
(
1)
n
n
q
q
2. Định lí:
a)Nếu
lim
n
u
thì
1
lim
0
n
u
b) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
=
thì lim
n
n
u
v
= 0
c) Nếu lim u
n
=a
0, lim v
n
= 0
thì lim
n
n
u
v
=
.
0
.
0
n
n
neáu av
neáu av
d) Nếu lim u
n
= +
, lim v
n
= a
thì lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neáu a
neáu a
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
,
–
, 0.
thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD:
a)
1
1
1
1
lim
lim
3
2
3
2
2
n
n
n
n
b)
2
1
1
3
3
lim
lim
1
1
1 2
2
n
n
n
n
n
n
c)
2
2
2
4
1
lim(
4
1)
lim
1
n
n
n
n
n
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
3
3
2
2
3
3
3
;
a
b
a
b
a b
a
b
a
ab
b
a b
VD:
2
lim
3
n
n n
=
2
2
2
3
3
lim
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
2
3
lim
3
n
n
n
n
=
3
2
Dùng định lí kẹp: Nếu
n
n
u
v
,
n và lim v
n
= 0 thì
lim u
n
= 0
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần