Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n^3 + 5n chia hết cho 6

(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN năm 1996)

Hướng dẫn giải:

Ta có: n³ + 5n = n³ – n + 6n = n(n² – 1) + 6n = n.(n – 1).(n + 1) + 6n.

Vì n là số nguyên dương nên suy ra: Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n – 1, n , n + 1 chia hết cho 2 và 3

=> n.(n – 1)(n + 1) chia hết cho 6.

Mà 6n chia hết cho 6 nên suy ra:

n.(n – 1)(n + 1) + 6n chia hết cho 6.

=> n³ + 5n chia hết cho 6 (đpcm).

Đây là dạng bài tập nâng cao mà các bạn được học trong chương trình Toán lớp 6. Dạng bài tập này sẽ được học xuyên suốt trong chương trình Toán học trung học cơ sở. Và dạng bài tập này đã có vài lần được ra trong đề thi vào 10 các trường chuyên. Vì vậy, toàn bộ kiến thức học trong trung học cơ sở để có thể có trong đề thi vào lớp 10 kể cả kiến thức Toán 6.

Để làm được dạng bài tập này, đầu tiên các bạn phải học vững kiến thức về dấu hiệu chia hết. Về dấu hiệu chia hết, đã được chúng tôi tổng quan lại, các bạn có thể tham khảo. Dựa vào các dấu hiệu chia hết này, các bạn hãy sẽ có những gợi ý để giải bài tập.

Sau đó, các bạn phân tích biểu thức để nhận thấy dấu hiệu chia hết rồi suy ra điều phải chứng minh. Để hiểu rõ hơn, các bạn hãy tham khảo ví dụ bên dưới.

Cho n là số tự nhiên và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 3²ⁿ + 3ⁿ +1 chia hết cho 13.

Lời giải:

n là số tự nhiên và không chia hết cho 3 nên ta đặt n = 3a + b (a∈N;b∈{1;2})

Suy ra ta có: A = 3²ⁿ + 3ⁿ + 1= 3^{2(3a + b)}  + 3^3a+b +1

                         = 9^{3a + b} + 3^{3a + b} +1

                         =729^a . 9^b + 27^a . 3^b +1 =  9^b (729^a – 1) + 3^b. (27^a – 1) + 9^b + 3^b + 1 = 728x + 26y + 9^b + 3^b +1.

Trường hợp 1:  r=1 suy ra A  =  728x + 26y + 13 = 13. (56x + 2y +1)

Suy ra A chia hết cho 13 (1)

Trường hợp 2:  r = 2 suy ra A = 728x + 26y + 91 = 13. (56x + 2y +7)

Suy ra A chia hết cho 13 (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

Thu Hoài

Không thẻ bỏ qua các nhóm để nhận nhiều tài liệu hay 1. Ngữ văn THPT 2. Giáo viên tiếng anh THCS 3. Giáo viên lịch sử 4. Giáo viên hóa học 5. Giáo viên Toán THCS 6. Giáo viên tiểu học 7. Giáo viên ngữ văn THCS 8. Giáo viên tiếng anh tiểu học 9. Giáo viên vật lí Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần