www.VIETMATHS.com
Chuyên đề
ĐỒNG DƯ THỨC
A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi
đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m ( a - b )| m hay m\(a - b)
Ký hiệu : a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ : 3 ≡ - 1 (mod 4)
5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là bội của a
m (a | m) hay m là ước
của a ( m \ a) .
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)
II/ Các tính chất cơ bản :
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
*Chứng minh : Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b
m (m \ (a - b)
và b ≡ c (mod m) => b - c
m (m \ (b - c)
Vì a - c = (a - b) + (b - c) => a - c
m (tính chất chia hết của tổng) hay
a ≡ c (mod m).
4) ) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b
m => a - b = m.q
1
(với q
1
Z) (1)
c ≡ d (mod m) => c - d
m => c - d = m.q
2
(với q
2
Z) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : (a - b) + (c - d) = m.(q
1
+ q
2
)
<=> (a + c) - (b + d) = m.(q
1
+ q
2
) => (a + c) - (b + d)
m
Hay a + c ≡ b + d (mod m)
Hệ quả : a
1
≡ b
1
(mod m) , a
2
≡ b
2
(mod m) , ... , a
n
≡ b
n
(mod m)
=> a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
≡ b
1
+ b
2
+ b
3
+ ... + b
n
(mod m)
5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a - b = m.q
1
= > a = b + m.q
1
(với q
1
Z) (1)
c - d = m.q
2
=> c = d + m.q
2
(với q
2
Z) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được : a.c = (b + m.q
1
)(d + m.q
2
)
ac = bd + bmq
2
+ dmq
1
+ m
2
q
1
q
2
<=> ac - bd = m(bq
2
+ dq
1
+ mq
1
q
2
)
=> ac - bd
m => ac ≡ bd (mod m).
1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần