Cho f(x) là đa thức bậc bốn thỏa mãn f(1) = f(-1) và f(2) = f(-2). Chứng minh rằng f(x) = f(-x) với mọi x.
Một bài toán dạng áp dụng tính chất nghiệm của đa thức được Giáo viên Việt Nam giải đáp và hướng dẫn cho các em học sinh học tốt môn Toán 9.
Lời giải
Đặt g(x) = f(x) – f(-x), thế thì g(x) là đa thức dạng: g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Mặt khác, ta có:
g(1) = f(1) – f(-1) = 0
g(-1) = f(-1) – f(1) = 0
g(2) = f(2) – f(-2) = 0
g(-2) = f(-2) – f(2) = 0
Như vậy g(x) là đa thức bậc không quá ba mà có bốn nghiệm khác nhau 1, -1, 2, -2 điều này là không thể. Vậy phải có a = 0; b = 0; c = 0; d = 0.
Hay f(x) = f(-x) với mọi x.
Các phương pháp chứng minh
Trên đây là hướng dẫn giải bài toán, được sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề. Vậy có những phương pháp chứng minh nào? Có phải trường hợp nào cũng chỉ có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Câu trả lời là không. Có nhiều phương pháp để chứng minh bài toán. Tùy thuộc vào dữ liệu trong đề ra để lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp.
- Phương pháp áp dụng các tính chất của tỷ số.
- Áp dụng tính chất cuar giá trị tuyệt đối.
- Áp dụng tính chất tam thức bậc 2.
