Chuyên đề giới hạn và liên tục
Hội toán Bắc Nam
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN
0
.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số
n
u
có giới hạn
0
( hay có giới hạn là
0
) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó.
Kí hiệu:
lim
0
n
u
.
Nói một cách ngắn gọn,
lim
0
n
u
nếu
n
u
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a)
lim
0
lim
0
n
n
u
u
.
b) Dãy số không đổi
n
u
, với
0
n
u
, có giới hạn là
0
.
c) Dãy số
n
u
có giới hạn là
0
nếu
n
u
có thể gần
0
bao nhiêu cũng được, miễn là
n
đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn
0
Định lí 4.1
Cho hai dãy số
n
u
và
n
v
.
Nếu
n
n
u
v
với mọi
n
và
lim
0
n
v
thì
lim
0
n
u
.
Định lí 4.2
Nếu
1
q
thì
lim
0
n
q
.
Người ta chứng mình được rằng
a)
1
lim
0
n
.
b)
3
1
lim
0
n
c)
1
lim
0
k
n
với mọi số nguyên dương
k
cho trước.
Trường hợp đặc biệt :
1
lim
0
n
.
d)
lim
0
k
n
n
a
với mọi
*
k
và mọi
1
a
cho trước.
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số
n
u
có giới hạn là số thực
L
nếu
lim
0
n
u
L
.
Kí hiệu:
lim
n
u
L
.
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
a)
Dãy số không đổi
n
u
với
n
u
c
, có giới hạn là
c
.
b)
lim
n
u
L
khi và chỉ khi khoảng cách
n
u
L
trên trục số thực từ điểm
n
u
đến
L
trở nên nhỏ
bao nhiêu cũng được miễn là
n
đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi
n
tăng thì các điểm
n
u
“
chụm lại” quanh điểm
L
.
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần