. Bất đẳng thức Bunhia copxky
I.Kiến thức cơ bản.
Định lý: Với mọi số a
1
, a
2
, …a
n
, b
1
, b
2
, …., b
n
ta luôn có:
(
n
n
b
a
b
a
b
a
...
2
2
1
1
)
2
(a
2
1
+a
2
2
+…+a
2
n
)(b
2
1
+b
2
2
+…+b
2
n
)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
....
2
2
1
1
Chứng minh:
(a
1
t-b
1
)
2
0
(a
2
t-b
2
)
2
0
………...
(a
n
t-b
n
)
2
0
(
2
1
a
2
2
a
+….+
2
n
a
)t
2
-2(ab+ab+…+ab)t+(
2
1
b
2
2
b
+….+
2
n
b
)
0
Đặt A=
2
1
a
2
2
a
+….+
2
n
a
B=ab+ab+ab
C=
2
1
b
2
2
b
+
…
.+
2
n
b
Ta có: At
2
-2Bt+C
0 với mọi t
A[(t-B)
2
-
A
AC
B
4
2
]
0 với mọi t
B
2
-AC
0
B
2
AC (điều phải chứng minh).
II. Một số ví dụ:
1)Sử dụng bất đẳng thức
Bunhia-copxky
chứng minh các bất đẳng khác.
Ví dụ 1. Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
với a, b, c > 0 ta có : a+b+c
3
3
abc
(bất đẳng thức Cosi)
a
2
+b
2
+c
2
3
1
(a+b+c)
2
Cosi-Bunhia
Hay
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
3
1
(
2
2
2
2
2
2
)
2
3
1
(
a
c
c
b
b
a
) 3
3
.
.
a
c
c
b
b
a
=
a
c
c
b
b
a
(đpcm)
Ví dụ 2. Cho a
2
+b
2
+c
2
=1 và m
2
+n
2
= 1
- 1 -
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần