Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân
Giaovienvietnam.com
CHƯƠNG III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
B
ước
1: Ki
ểm tra mệnh đề đúng với
n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k
1), chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị
nguyên dương n
p, ta thực hiện như sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
p và phải
chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
1
1
1
1
2
1
...
,
*
2
4
8
2
2
n
n
n
n
N
Giải
Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành
1
1
2
2
là mệnh đề đúng
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k
1 nghĩa là:
1
1
1
1
2
1
...
2
4
8
2
2
k
k
k
Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
...
2
4
8
2
2
k
k
k
Thật vậy
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
2
4
8
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
VT
VP
Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi
*
n
N
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
3
2
3
5
n
u
n
n
n
chia hết cho 3 ,
*
n
Giải
Bước 1: Với
1
n
, vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với
n
k
, tức là:
3
2
3
5
k
u
k
k
k
chia hết cho 3.
Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với
1:
n
k
Ta có:
3
2
1
1
3
1
5
1
k
u
k
k
k
3
2
2
2
3
5
3
3
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
u
k
k
1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần