SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Cho các số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
n
. Đặt S =
3
3
3
1
2
n
a
a
...
a
và
1
2
n
P
a
a
...
a
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A =
6
4
3
2
n
n
2n
2n
(với
n
N,
n > 1). Chứng minh A không phải là số
chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm).
a) Giải phương trình:
3
2
10 x
1
3x
6
b) Giải hệ phương trình:
1
x
3
y
1
y
3
z
1
z
3
x
Câu 3 (4,5 điểm).
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và
1
1
1
4
x
y
z
.
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
2x+y+z
x
2y
z
x
y
2z
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn
2011
2011
2011
x
y
z
3
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
2
M x
y
z
Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác.
Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P
lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi
0
BOC 120
, xác định vị trí của điểm M để
1
1
MB
MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:
................................................................................
Số báo danh:
.....................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần