PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (5 điểm)
a. Cho biểu thức M=
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
b
a
với a, b > 0 và a
b
Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết
1
1
2
1
a
b
ab
b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn
5
4
18
2
3
2
2
a
b
a
b
c. Cho a, b, c thỏa mãn
7
a
b
c
;
23
a
b
c
;
3
abc
Tính giá trị biểu thức H=
1
1
1
6
6
6
ab
c
bc
a
ca
b
Bài 2: (4,5 điểm)
a. Tính giá trị của biểu thức
N=
4
3
4
3
27
10
2
4
13
b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn
2
2
2
2
a
b
a
b
+
2
(1
)
4
ab
ab
Chứng minh
1
ab
là số hữu tỉ
c. Giải phương trình
2
4
2
1 1
x
x
x
x
Bài 3: (3,5 điểm)
a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn
5
2
2
1
x
y
xy
b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh
1
1
1
3
2
2
2
2
ab
a
bc
b
ca
c
Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy
M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH
vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại
O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.
a.
Chứng minh MNCO là hình thang cân
b.
MB cắt CH tại I. Chứng minh KI song song với AB
c.
Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông
góc với QF
Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 4
27
+ 4
2016
+ 4
n
là số
chính phương
Họ tên thí sinh.................................................... SBD:................................
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần