PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2015 – 2016

Môn: Toán

Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015

(Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang)

Bài 1(3 điểm):

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9.

b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu

2

2

4a

+ 3ab

11b



chia hết

cho 5 thì



4

4

a

b

chia hết cho 5.

Bài 2(4 điểm):

a) Cho

3

2015

(

)

(

12

31)

f

x

x

x







.

Tính

f (a)

với

3

3

a

16

8

5

16

8 5









.

b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn:

2

2

1

x

y





và

4

4

1

x

y

a

b

a

b







.

Chứng minh rằng:

2016

2016

1008

1008

1008

2

(

)

x

y

a

b

a

b







Bài 3 (4 điểm ):

a) Giải phương trình:

2

2

3

5

2

3

12

14

x

x

x

x













b) Giải hệ phương trình sau :

2

2

2

4

2

2

2

x

y

x

xy



















Bài 4 (7 điểm ):

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động

trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB

và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh

rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.

c) Chứng minh tỷ số

3

.

.

AH

BC BE CF

không đổi.

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá

trị đó.

Bài 5 (2 điểm ):

Cho x;y;z dương sao cho

6

1

1

1













x

z

z

y

y

x

Tìm giá trị lớn nhất của

y

x

z

x

z

y

z

y

x

P

2

3

3

1

2

3

3

1

2

3

3

1



















.

--------HẾT--------

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần